Το σφάλμα του τζογαδόρου και ... άλλα σφάλματα

Γεώργιος A. Παπαχρήστου
Επίκουρος Καθηγητής Χρηματοοικονομικής
Τμήμα Οικονομικών Επιστημών
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

          Η τελευταία τρέλα του Τζόκερ επανέφερε στο προσκήνιο πολλές σφαλερές αντιλήψεις σχετικά με το παιχνίδι. Κατά μια ευρέως διαδομένη αλλά σφαλερή αντίληψη, η ανάλυση της ιστορίας των κληρώσεων μπορεί να αποκαλύψει αριθμούς με μεγαλύτερη πιθανότητα κλήρωσης. Ιδιαίτερη εντύπωση όμως προκαλεί η εξ ίσου σφαλερή αντίληψη κατά την οποία "δεν υπάρχει στρατηγική επιτυχίας στα τυχερά παιχνίδια" και ιδιαίτερα στο Τζόκερ. Η αλήθεια όπως συνήθως συμβαίνει κρύβεται στη μέση. Στα παιχνίδια τύπου Λόττο και Τζόκερ ισχύουν τρείς απλές αρχές:

          

1) Η κληρωτίδα δεν έχει προτιμήσεις ούτε μνήμη.
          Η μηχανική λειτουργία της κληρωτίδας είναι αδιάβλητη. Αν για μηχανικούς λόγους, κάποιοι αριθμοί έβγαιναν συχνότερα από άλλους αυτό θα εμφανιζόταν στην ιστορία των κληρώσεων και θα υπέκειτο σε σχετικό στατιστικό έλεγχο. Ο στατιστικός όμως έλεγχος των κληρώσεων του Λόττο αποκαλύπτει οτι η υπόθεση της μεροληπτικής κληρωτίδας δεν μπορεί να γίνει δεκτή παρά μόνον με μεγάλη πιθανότητα σφάλματος. Είναι ιδιαίτερα ενδεικτική η μέριμνα των διοργανωτών να αποφεύγονται μηχανικές αστοχίες που θα μπορούσαν να επηρεάσουν τις κληρώσεις (μικρότερα ή ελαφρότερα σφαιρίδια, φθορά, κ.λ.π.). Στην ιστοσελίδα της Camelot η οποία διοργανώνει το παιχνίδι στη Μ. Βρεταννία μπορεί κανείς να διαπιστώσει την έκταση της σχετικής μέριμνας. Το συμπέρασμα είναι οτι όλοι οι αριθμοί και οι συνδυασμοί αριθμών έχουν κάθε φορά την ίδια πιθανότητα κλήρωσης

         

 2) Οι παίκτες έχουν προτιμήσεις και μνήμη.
          Οι προτιμήσεις των παικτών διαπιστώνονται εύκολα στις χώρες εκείνες (ΗΠΑ, Καναδάς) όπου δημοσιεύονται στατιστικές σχετικά με τη συχνότητα επιλογής των αριθμών από τους παίκτες. Αυτό δηλαδή που διαπιστώνεται είναι η ύπαρξη δημοφιλών αριθμών (popular numbers). Οι παίκτες όμως έχουν και μνήμη. Και η μνήμη αυτή τους παίζει παιχνίδια ! Κατά την αντίληψη πολλών παικτών, γνωστή και ως σφάλμα του παίκτη (gambler's fallacy), η τύχη είναι μια αυτο-διορθωτική διαδικασία. Ετσι, αριθμοί που δεν έχουν βγεί συχνά στο παρελθόν, έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα κλήρωσης στο μέλλον.

          

3) Αντίπαλος δεν είναι η τύχη ούτε ο διοργανωτής, αλλά οι συμπαίκτες.
          Το Λόττο και το Τζόκερ είναι αμοιβαία στοιχήματα (pari mutuel bets). Αυτό σημαίνει οτι τα έσοδα του διοργανωτή είναι σταθερό ποσοστό επί των πωλήσεων. Οι παίκτες ανταγωνίζονται στη μοιρασιά του υπολοίπου.

          Λόγω των παραπάνω απλών αρχών είναι αστείο και πολλές φορές απατηλό να ψάχνει κανείς για αριθμούς που έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα κλήρωσης. Δεν μπορεί κανείς να νικήσει την τύχη. Είναι όμως δυνατόν να νικήσει τους συμπαίκτες του, αν γνωρίζει ή μπορεί να πιθανολογήσει τις επιλογές τους. Γνωρίζοντας πώς παίζουν οι υπόλοιποι παίκτες, κάποιος παίκτης μπορεί να πετύχει υψηλότερα κέρδη στοιχηματίζοντας αντίθετα στο πλήθος (betting against the crowd).

          Η δυνατότητα αυτή έχει τεκμηριωθεί εμπειρικά σε δύο πρόσφατες έρευνες που αφορούν το Λόττο στην Ελλάδα και τη Μ. Βρετανία όπου αποδεικνύεται οτι "υπάρχει στρατηγική επιτυχίας"[G. Papachristou and D. Karamanis (1998),G. Papachristou (2004)].

Σφάλμα του τζογαδόρου και δημοφιλείς αριθμοί στο Λόττο

"It is clear that lottery players do not think that all numbers are created equal" Clotfelter and Cook (1991, σελ.86)

          Πολύ συχνά τα άτομα που αντιμετωπίζουν επιλογές υπό συνθήκες αβεβαιότητας αναπτύσσουν σφαλερές αντιλήψεις. Κατά την πιο διαδεδομένη αντίληψη, γνωστή και ως σφάλμα του τζογαδόρου (gambler's fallacy), "η τύχη γίνεται αντιληπτή ως μια αυτοδιορθωτική διαδικασία όπου αποκλίσεις προς μια κατεύθυνση επιφέρουν αντισταθμιστικές αποκλίσεις προς την άλλη" [Tversky and Kahneman (1974)].

          Λόγω της αντίληψης αυτής τα άτομα επενδύουν χρόνο και πόρους στην πρόβλεψη μελλοντικών γεγονότων, είτε πρόκειται για τις τιμές των μετοχών είτε πρόκειται για τις κληρώσεις του Λόττο, και ενεργούν ανάλογα. Αν και η αντίληψη δεν έχει επιστημονική βάση, έχει σημαντικά αποτελέσματα. Επιτρέπει την πρόβλεψη της συμπεριφοράς σε "παιχνίδια" όπου τα στοιχήματα είναι αμοιβαία, όπου δηλαδή το κέρδος ενός παίκτη είναι ζημιά για κάποιον άλλον (όπως το Χρηματιστήριο αλλά και το Λόττο και το Τζόκερ). Είναι γνωστό οτι οι παίκτες του Λόττο παρακολουθούν τις συχνότητες με τις οποίες οι αριθμοί κληρώνονται και βάσει αυτών επιλέγουν τους δικούς τους αριθμούς. Δεδομένου οτι οι "καθυστερημένοι" αριθμοί επιλέγονται περισσότερο, μεγαλύτερος αριθμός νικητήριων στηλών ή, ισοδύναμα, χαμηλότερα κέρδη ανά νικητήρια στήλη σε κάθε κατηγορία κερδών, συνοδεύουν την κλήρωση των αριθμών αυτών.

          Αν η επιλογή των αριθμών στα δελτία ήταν τυχαία, τότε ο θεωρητικά αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών θα ήταν συνάρτηση της πιθανότητας επιτυχίας και του αριθμού των στηλών. Αν, λόγου χάριν, έχουν συμπληρωθεί 30 εκατομύρια στήλες, τότε ο θεωρητικά αναμενόμενος αριθμός στηλών με 6 επιτυχίες είναι 30.000.000/13.983.816 = 2,14 (δεδομένου οτι η πιθανότητα να έχει κανείς εξάρι στο Λόττο είναι 1 στις 13.983.816). Τί συμβαίνει όμως όταν η επιλογή των αριθμών δεν είναι τυχαία ; Για παράδειγμα τί συμβαίνει όταν οι παίκτες επιλέγουν τους αριθμούς με τη μεγαλύτερη καθυστέρηση ; Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός των επιτυχιών θα είναι σημαντικά μικρότερος από τον θεωρητικό αριθμό, όποτε η μέση καθυστέρηση των αριθμών που κληρώνονται είναι μικρή. Η σχέση αυτή μεταξύ της διαφοράς πραγματικού από θεωρητικό αριθμό επιτυχιών και καθυστέρησης των κληρωθέντων αριθμών έχει εκτιμηθεί, ελεγχθεί και επαληθευθεί στατιστικά για το Λόττο σε δείγμα κληρώσεων από το 1990 ως τον Ιούλιο του 1997 στην Ελλάδα. Η υπόθεση συνεπώς οτι οι παίκτες του Λόττο υπόκεινται στο σφάλμα του τζογαδόρου ισχύει στην Ελλάδα.

          Το συμπέρασμα είναι οτι υπάρχει τρόπος να βελτιώσει κανείς (όχι όμως όλοι!) τις επιδόσεις του στο παιχνίδι στοιχηματίζοντας αντίθετα προς το πλήθος (betting against the crowd), παίζοντας, δηλαδή, τους αριθμούς που κληρώθηκαν πρόσφατα.

          Τί συμβαίνει, τέλος, όταν οι επιλογές των παικτών συγκεντρώνονται σε ένα υποσύνολο αριθμών, δηλαδή στους δημοφιλείς αριθμούς (popular numbers); Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός των επιτυχιών θα είναι συστηματικά χαμηλότερος από θεωρητικά αναμενόμενο αριθμό. Η υπόθεση αυτή έχει επίσης ελεγχθεί και επαληθευθεί στατιστικά στο ίδιο δείγμα κληρώσεων του Λόττο.

          Το συμπέρασμα είναι οτι υπάρχει και άλλος τρόπος να βελτιώσει κανείς (όχι όμως όλοι!) τις επιδόσεις του στο παιχνίδι στοιχηματίζοντας αντίθετα προς το πλήθος (betting against the crowd), παίζοντας, δηλαδή, τους λιγότερο δημοφιλείς αριθμούς.

Αναφορές

          Clotfelter, C.T. and P.J.Cook, 1991, Selling Hope: State Lotteries in America (NBER, Harvard University Press-Cambridge)
          Papachristou, G. and D. Karamanis, 1999, "Investigating efficiency in betting markets: Evidence from the Greek 6/49 Lotto", Journal of Banking and Finance 22, 1597-1616
          Papachristou, G., (2004), "The British gambler's fallacy, forthcoming in Applied Economics.
          Tversky, A. and D. Kahneman, 1974, Judgement Under Uncertainty: Heuristics and Biases, Science 185, 1124-1131